Laplace frente a transformadas de Fourier
Tanto la transformada de Laplace como la transformada de Fourier son transformadas integrales, que se emplean más comúnmente como métodos matemáticos para resolver sistemas físicos modelados matemáticamente. El proceso es simple. Un modelo matemático complejo se convierte en un modelo solucionable más simple mediante una transformación integral. Una vez resuelto el modelo más simple, se aplica la transformada integral inversa, que daría la solución al modelo original.
Por ejemplo, dado que la mayoría de los sistemas físicos dan como resultado ecuaciones diferenciales, se pueden convertir en ecuaciones algebraicas o, en menor grado, en ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles utilizando una transformada integral. Entonces resolver el problema será más fácil.
¿Qué es la transformada de Laplace?
Dada una función f (t) de una variable real t, su transformada de Laplace está definida por la integral [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (siempre que exista), que es una función de una variable compleja s. Por lo general, se denota por L { f (t)}. La transformada inversa de Laplace de una función F (s) se toma como función f (t) de tal manera que L { f (t)}=F (s), y en la notación matemática habitual escribimos, L-1{ F (s)}=f (t). La transformada inversa se puede hacer única si no se permiten funciones nulas. Uno puede identificar estos dos como operadores lineales definidos en el espacio de funciones, y también es fácil ver que, L -1{ L { f (t)}}=f (t), si las funciones nulas no están permitidas.
La siguiente tabla enumera las transformadas de Laplace de algunas de las funciones más comunes.
¿Qué es la transformada de Fourier?
Dada una función f (t) de una variable real t, su transformada de Laplace está definida por la integral [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (siempre que exista), y generalmente se denota por F { f (t)}. La transformada inversa F -1{ F (α)} viene dada por la integral [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. La transformada de Fourier también es lineal y se puede considerar como un operador definido en el espacio de funciones.
Usando la transformada de Fourier, la función original se puede escribir de la siguiente manera siempre que la función tenga solo un número finito de discontinuidades y sea absolutamente integrable.
¿Cuál es la diferencia entre la transformada de Laplace y la de Fourier?
- La transformada de Fourier de una función f (t) se define como [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], mientras que su transformada de Laplace se define como [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/látex].
- La transformada de Fourier se define solo para funciones definidas para todos los números reales, mientras que la transformada de Laplace no requiere que la función se defina en el conjunto de números reales negativos.
- La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace. Se puede observar que ambos coinciden para números reales no negativos. (es decir, tome s en Laplace como iα + β donde α y β son reales tales que e β=1/ √(2ᴫ))
- Cada función que tiene una transformada de Fourier tendrá una transformada de Laplace pero no al revés.
