Ortogonal frente a ortonormal
En matemáticas, las dos palabras ortogonal y ortonormal se usan con frecuencia junto con un conjunto de vectores. Aquí, el término 'vector' se usa en el sentido de que es un elemento de un espacio vectorial, una estructura algebraica utilizada en álgebra lineal. Para nuestra discusión, consideraremos un espacio de producto interno: un espacio vectorial V junto con un producto interno definido en V.
Como ejemplo, para un producto interior, el espacio es el conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales junto con el producto escalar habitual.
¿Qué es ortogonal?
Se dice que un subconjunto S no vacío de un espacio de producto interior V es ortogonal, si y sólo si para cada u, v distinto en S, [u, v]=0; es decir, el producto interno de u y v es igual al escalar cero en el espacio del producto interno.
Por ejemplo, en el conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales, esto equivale a decir que, para cada par distinto de vectores de posición p y q en S, p y q son perpendiculares entre sí. (Recuerde que el producto interno en este espacio vectorial es el producto escalar. Además, el producto escalar de dos vectores es igual a 0 si y solo si los dos vectores son perpendiculares entre sí).
Considere el conjunto S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, que es un subconjunto de los vectores de posición tridimensionales. Observa que (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Por tanto, el conjunto S es ortogonal. En particular, se dice que dos vectores son ortogonales si su producto interno es 0. Por lo tanto, cada par de vectores en Sis es ortogonal.
¿Qué es ortonormal?
Se dice que un subconjunto S no vacío de un espacio de producto interior V es ortonormal si y solo si S es ortogonal y para cada vector u en S, [u, u]=1. Por lo tanto, se puede ver que todo conjunto ortonormal es ortogonal pero no al revés.
Por ejemplo, en el conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales, esto equivale a decir que, para cada par distinto de vectores de posición p y q en S, p y q son perpendiculares entre sí, y para cada p en S, |p|=1. Esto se debe a que la condición [p, p]=1 se reduce a p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, que es equivalente a |p |=1. Por lo tanto, dado un conjunto ortogonal, siempre podemos formar un conjunto ortonormal correspondiente dividiendo cada vector por su magnitud.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} es un subconjunto ortonormal del conjunto de todos los vectores de posición tridimensionales. Es fácil ver que se obtuvo dividiendo cada uno de los vectores del conjunto S, por sus magnitudes.
¿Cuál es la diferencia entre ortogonal y ortonormal?
- Se dice que un subconjunto S no vacío de un espacio de producto interior V es ortogonal si y solo si para cada u, v distinto en S, [u, v]=0. Sin embargo, es ortonormal si y solo si se cumple una condición adicional: para cada vector u en S, [u, u]=1.
- Cualquier conjunto ortonormal es ortogonal pero no viceversa.
- Cualquier conjunto ortogonal corresponde a un único conjunto ortonormal, pero un conjunto ortonormal puede corresponder a muchos conjuntos ortogonales.
