Eventos mutuamente excluyentes frente a independientes
La gente a menudo confunde el concepto de eventos mutuamente excluyentes con eventos independientes. De hecho, son dos cosas diferentes.
Sean A y B cualesquiera dos eventos asociados con un experimento aleatorio E. P(A) se llama la “Probabilidad de A”. De manera similar, podemos definir la probabilidad de B como P(B), la probabilidad de A o B como P(A∪B) y la probabilidad de A y B como P(A∩B). Entonces, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Sin embargo, se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de un evento no afecta al otro. En otras palabras, no pueden ocurrir simultáneamente. Por lo tanto, si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces A∩B=∅ y, por lo tanto, eso implica que P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Sean A y B dos eventos en un espacio muestral S. La probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido, se denota por P(A | B) y se define como; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), siempre que P(B)>0. (de lo contrario, no está definido).
Se dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A ocurra no está influenciada por si B ha ocurrido o no. En otras palabras, el resultado del evento B no tiene efecto sobre el resultado del evento A. Por lo tanto, P(A | B)=P(A). De manera similar, B es independiente de A si P(B)=P(B | A). Por lo tanto, podemos concluir que si A y B son eventos independientes, entonces P(A∩B)=P(A). P(B)
Suponga que se lanza un cubo numerado y se lanza una moneda justa. Sea A el evento de que salga cara y B el evento de que salga un número par. Entonces podemos concluir que los eventos A y B son independientes, porque el resultado de uno no afecta el resultado del otro. Por lo tanto, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Dado que P(A∩B)≠0, A y B no pueden ser mutuamente excluyentes.
Suponga que una urna contiene 7 canicas blancas y 8 canicas negras. Defina el evento A como sacar una canica blanca y el evento B como sacar una canica negra. Suponiendo que cada canica se reemplace después de anotar su color, entonces P(A) y P(B) siempre serán iguales, sin importar cuántas veces extraigamos de la urna. Reemplazar las canicas significa que las probabilidades no cambian de un sorteo a otro, sin importar el color que elegimos en el último sorteo. Por lo tanto, los eventos A y B son independientes.
Sin embargo, si se sacaron canicas sin reemplazo, todo cambia. Bajo esta suposición, los eventos A y B no son independientes. Sacar una canica blanca la primera vez cambia las probabilidades de sacar una canica negra la segunda vez y así sucesivamente. En otras palabras, cada sorteo tiene un efecto en el sorteo siguiente, por lo que los sorteos individuales no son independientes.
Diferencia entre eventos mutuamente excluyentes e independientes
– La exclusividad mutua de los eventos significa que no hay superposición entre los conjuntos A y B. La independencia de los eventos significa que la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B.
– Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A∩B)=0.
– Si dos eventos A y B son independientes, entonces P(A∩B)=P(A). P(B)
