Híperbola vs Elipse
Cuando se corta un cono en diferentes ángulos, el borde del cono marca diferentes curvas. Estas curvas a menudo se denominan secciones cónicas. Más precisamente, una sección cónica es una curva obtenida al intersecar una superficie cónica circular recta con una superficie plana. En diferentes ángulos de intersección, se dan diferentes secciones cónicas.
Tanto la hipérbola como la elipse son secciones cónicas, y sus diferencias se comparan fácilmente en este contexto.
Más sobre Elipse
Cuando la intersección de la superficie cónica y la superficie plana produce una curva cerrada, se conoce como elipse. Tiene una excentricidad entre cero y uno (0<e<1). También se puede definir como el lugar geométrico del conjunto de puntos en un plano tal que la suma de las distancias al punto desde dos puntos fijos permanece constante. Estos dos puntos fijos se conocen como los "focos". (Recuerde: en las clases de matemáticas elementales, las elipses se dibujan usando una cuerda atada a dos alfileres fijos, o un lazo de cuerda y dos alfileres).
El segmento de línea que pasa por los focos se conoce como eje mayor, y el eje perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro de la elipse se conoce como eje menor. Los diámetros a lo largo de cada eje se conocen como diámetro transversal y diámetro conjugado, respectivamente. La mitad del eje mayor se conoce como semieje mayor, y la mitad del eje menor se conoce como semieje menor.
Cada punto F1 y F2 se conocen como los focos de la elipse y las longitudes F1 + PF2 =2a, donde P es un punto arbitrario en la elipse. La excentricidad e se define como la relación entre la distancia desde un foco al punto arbitrario (PF 2) y la distancia perpendicular al punto arbitrario desde la directriz (PD). También es igual a la distancia entre los dos focos y el semieje mayor: e=PF/PD=f/a
La ecuación general de la elipse, cuando el semieje mayor y el semieje menor coinciden con los ejes cartesianos, se da de la siguiente manera.
x2/a2 + y2/b2=1
La geometría de la elipse tiene muchas aplicaciones, especialmente en física. Las órbitas de los planetas del sistema solar son elípticas con el sol como un foco. Los reflectores para antenas y dispositivos acústicos están fabricados en forma elíptica para aprovechar que cualquier emisión de un foco convergerá en el otro foco.
Más sobre Hipérbola
La hipérbola también es una sección cónica, pero tiene un extremo abierto. El término hipérbola se refiere a las dos curvas desconectadas que se muestran en la figura. En lugar de cerrarse como una elipse, los brazos o las ramas de la hipérbola continúan hasta el infinito.
Los puntos donde las dos ramas tienen la menor distancia entre ellas se conocen como vértices. La recta que pasa por los vértices se considera como eje mayor o eje transversal, y es uno de los ejes principales de la hipérbola. Los dos focos de la parábola también se encuentran en el eje mayor. El punto medio de la recta entre los dos vértices es el centro, y la longitud del segmento de recta es el semieje mayor. La bisectriz perpendicular del semieje mayor es el otro eje principal, y las dos curvas de la hipérbola son simétricas alrededor de este eje. La excentricidad de la parábola es mayor que uno; e > 1.
Si los ejes principales coinciden con los ejes cartesianos, la ecuación general de la hipérbola es de la forma:
x2/a2 – y2/b2=1,
donde a es el semieje mayor y b es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los focos.
Las hipérbolas con extremos abiertos frente al eje x se conocen como hipérbolas este-oeste. También se pueden obtener hipérbolas similares en el eje y. Estas se conocen como las hipérbolas del eje y. La ecuación para tales hipérbolas toma la forma
y2/a2 – x2/b2=1
¿Cuál es la diferencia entre hipérbola y elipse?
• Tanto las elipses como la hipérbola son secciones cónicas, pero la elipse es una curva cerrada mientras que la hipérbola consta de dos curvas abiertas.
• Por lo tanto, la elipse tiene un perímetro finito, pero la hipérbola tiene una longitud infinita.
• Ambos son simétricos en torno a su eje mayor y menor, pero la posición de la directriz es diferente en cada caso. En la elipse, se encuentra fuera del semieje mayor, mientras que, en la hipérbola, se encuentra en el semieje mayor.
• Las excentricidades de las dos secciones cónicas son diferentes.
0 <eElipse < 1
eHíperbola > 0
• La ecuación general de las dos curvas parece la misma, pero son diferentes.
• La bisectriz perpendicular del eje mayor corta la curva en la elipse, pero no en la hipérbola.
(Fuente de las imágenes: Wikipedia)
