Función discreta frente a función continua
Las funciones son una de las clases más importantes de objetos matemáticos, que se utilizan ampliamente en casi todos los subcampos de las matemáticas. Como sus nombres sugieren, tanto las funciones discretas como las funciones continuas son dos tipos especiales de funciones.
Una función es una relación entre dos conjuntos definida de tal manera que para cada elemento del primer conjunto, el valor que le corresponde en el segundo conjunto es único. Sea f una función definida del conjunto A en el conjunto B. Entonces, para cada x ϵ A, el símbolo f (x) denota el valor único en el conjunto B que corresponde a x. Se llama la imagen de x bajo f. Por lo tanto, una relación f de A en B es una función, si y sólo si para, cada xϵ A y y ϵ A; si x=y entonces f (x)=f (y). El conjunto A se llama dominio de la función f, y es el conjunto en el que se define la función.
Por ejemplo, considere la relación f de R en R definida por f (x)=x + 2 para cada xϵ A. Esta es una función cuyo dominio es R, ya que para cada número real x e y, x=y implica f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Pero la relación g de N en N definida por g (x)=a, donde 'a' es un factor primo de x no es una función como g (6)=3, así como g (6)=2.
¿Qué es una función discreta?
Una función discreta es una función cuyo dominio es a lo sumo contable. Simplemente, esto significa que es posible hacer una lista que incluya todos los elementos del dominio.
Cualquier conjunto finito es, como mucho, contable. El conjunto de números naturales y el conjunto de números racionales son ejemplos de conjuntos infinitos como máximo contables. El conjunto de los números reales y el conjunto de los números irracionales no son, a lo sumo, contables. Ambos conjuntos son incontables. Significa que es imposible hacer una lista que incluya todos los elementos de esos conjuntos.
Una de las funciones discretas más comunes es la función factorial. f:N U{0}→N definida recursivamente por f (n)=n f (n-1) para cada n ≥ 1 y f (0)=1 se llama función factorial. Observe que su dominio N U{0} es como mucho contable.
¿Qué es una función continua?
Sea f una función tal que para cada k en el dominio de f, f (x)→ f (k) cuando x → k. Entonces f es una función continua. Esto significa que es posible hacer f (x) arbitrariamente cerca de f (k) haciendo x lo suficientemente cerca de k para cada k en el dominio de f.
Considere la función f (x)=x + 2 en R. Se puede ver que cuando x → k, x + 2 → k + 2 es f (x)→ f (k). Por lo tanto, f es una función continua. Ahora, considere g en números reales positivos g (x)=1 si x > 0 y g (x)=0 si x=0. Entonces, esta función no es una función continua ya que el límite de g (x) no existe (y por lo tanto no es igual a g (0)) cuando x → 0.
¿Cuál es la diferencia entre función continua y discreta?
• Una función discreta es una función cuyo dominio es, como mucho, contable, pero no tiene por qué ser el caso en funciones continuas.
• Todas las funciones continuas ƒ tienen la propiedad de que ƒ(x)→ƒ(k) cuando x → k para cada x y para cada k en el dominio de ƒ, pero no es el caso en algunas funciones discretas.
