Función de distribución de probabilidad frente a función de densidad de probabilidad
La probabilidad es la probabilidad de que suceda un evento. Esta idea es muy común y se usa con frecuencia en el día a día cuando evaluamos nuestras oportunidades, transacciones y muchas otras cosas. Extender este concepto simple a un conjunto más grande de eventos es un poco más desafiante. Por ejemplo, no podemos calcular fácilmente las posibilidades de ganar una lotería, pero es conveniente, bastante intuitivo, decir que existe una posibilidad de seis de que vamos a obtener el número seis en un dado.
Cuando el número de eventos que pueden ocurrir es cada vez mayor, o el número de posibilidades individuales es grande, esta idea bastante simple de probabilidad falla. Por lo tanto, se le debe dar una definición matemática sólida antes de abordar problemas de mayor complejidad.
Cuando el número de eventos que pueden ocurrir en una sola situación es grande, es imposible considerar cada evento individualmente como en el ejemplo de los dados lanzados. Por lo tanto, todo el conjunto de eventos se resume introduciendo el concepto de variable aleatoria. Es una variable, que puede asumir los valores de diferentes eventos en esa situación particular (o el espacio muestral). Da un sentido matemático a eventos simples en la situación y una forma matemática de abordar el evento. Más precisamente, una variable aleatoria es una función de valor real sobre los elementos del espacio muestral. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Por lo general, se indican con las letras mayúsculas del alfabeto inglés.
La función de distribución de probabilidad (o simplemente, la distribución de probabilidad) es una función que asigna los valores de probabilidad para cada evento; es decir, proporciona una relación con las probabilidades de los valores que puede tomar la variable aleatoria. La función de distribución de probabilidad se define para variables aleatorias discretas.
La función de densidad de probabilidad es el equivalente de la función de distribución de probabilidad para las variables aleatorias continuas, da la probabilidad de que una determinada variable aleatoria asuma un cierto valor.
Si X es una variable aleatoria discreta, la función dada como f (x)=P (X=x) para cada x dentro del rango de X se denomina función de distribución de probabilidad. Una función puede servir como función de distribución de probabilidad si y solo si la función satisface las siguientes condiciones.
1. f(x) ≥ 0
2. ∑ f(x)=1
Una función f (x) que se define sobre el conjunto de números reales se denomina función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, si y solo si, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx para cualquier constante real a y b.
La función de densidad de probabilidad también debe satisfacer las siguientes condiciones.
1. f (x) ≥ 0 para todo x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Tanto la función de distribución de probabilidad como la función de densidad de probabilidad se utilizan para representar la distribución de probabilidades en el espacio muestral. Por lo general, se denominan distribuciones de probabilidad.
Para el modelado estadístico, se derivan funciones estándar de densidad de probabilidad y funciones de distribución de probabilidad. La distribución normal y la distribución normal estándar son ejemplos de distribuciones de probabilidad continuas. La distribución binomial y la distribución de Poisson son ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas.
¿Cuál es la diferencia entre la distribución de probabilidad y la función de densidad de probabilidad?
• La función de distribución de probabilidad y la función de densidad de probabilidad son funciones definidas sobre el espacio muestral, para asignar el valor de probabilidad relevante a cada elemento.
• Las funciones de distribución de probabilidad se definen para las variables aleatorias discretas, mientras que las funciones de densidad de probabilidad se definen para las variables aleatorias continuas.
• La distribución de los valores de probabilidad (es decir, las distribuciones de probabilidad) se representan mejor mediante la función de densidad de probabilidad y la función de distribución de probabilidad.
• La función de distribución de probabilidad se puede representar como valores en una tabla, pero eso no es posible para la función de densidad de probabilidad porque la variable es continua.
• Cuando se grafica, la función de distribución de probabilidad da un gráfico de barras mientras que la función de densidad de probabilidad da una curva.
• La altura/longitud de las barras de la función de distribución de probabilidad debe sumar 1, mientras que el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad debe sumar 1.
• En ambos casos, todos los valores de la función deben ser no negativos.
