Variables aleatorias frente a distribución de probabilidad
Los experimentos estadísticos son experimentos aleatorios que pueden repetirse indefinidamente con un conjunto conocido de resultados. Tanto las variables aleatorias como las distribuciones de probabilidad están asociadas con tales experimentos. Para cada variable aleatoria, hay una distribución de probabilidad asociada definida por una función llamada función de distribución acumulativa.
¿Qué es una variable aleatoria?
Una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento estadístico. En otras palabras, es una función definida a partir del espacio muestral de un experimento estadístico en el conjunto de números reales.
Por ejemplo, considere un experimento aleatorio de lanzar una moneda dos veces. Los posibles resultados son HH, HT, TH y TT (H – cabezas, T – cuentos). Sea la variable X el número de cabezas observadas en el experimento. Entonces, X puede tomar los valores 0, 1 o 2, y es una variable aleatoria. Aquí, la variable aleatoria X mapeará el conjunto S={HH, HT, TH, TT} (el espacio muestral) al conjunto {0, 1, 2} de tal manera que HH se mapee a 2, HT y TH se asignan a 1 y TT se asigna a 0. En notación de función, esto se puede escribir como, X: S → R donde X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 y X(TT)=0.
Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas, en consecuencia, el número de valores posibles que puede asumir una variable aleatoria es, como mucho, contable o no. En el ejemplo anterior, la variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta ya que {0, 1, 2} es un conjunto finito. Ahora, considere el experimento estadístico de encontrar los pesos de los estudiantes en una clase. Sea Y la variable aleatoria definida como el peso de un estudiante. Y puede tomar cualquier valor real dentro de un intervalo específico. Por lo tanto, Y es una variable aleatoria continua.
¿Qué es una distribución de probabilidad?
La distribución de probabilidad es una función que describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome ciertos valores.
Una función llamada función de distribución acumulativa (F) se puede definir del conjunto de números reales al conjunto de números reales como F(x)=P(X ≤ x) (la probabilidad de que X sea menor que o igual a x) para cada posible resultado x. Ahora, la función de distribución acumulativa de X en el primer ejemplo se puede escribir como F(a)=0, si a<0; F(a)=0.25, si 0≤a<1; F(a)=0.75, si 1≤a<2 y F(a)=1, si a≥2.
En el caso de variables aleatorias discretas, se puede definir una función del conjunto de resultados posibles al conjunto de números reales de tal manera que ƒ(x)=P(X=x) (la probabilidad de que X siendo igual a x) para cada posible resultado x. Esta función particular ƒ se llama función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X. Ahora, la función de masa de probabilidad de X en el primer ejemplo particular se puede escribir como ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 y ƒ(x)=0 de lo contrario. Por lo tanto, la función de masa de probabilidad junto con la función de distribución acumulativa describirán la distribución de probabilidad de X en el primer ejemplo.
En el caso de variables aleatorias continuas, una función llamada función de densidad de probabilidad (ƒ) se puede definir como ƒ(x)=dF(x)/dx para cada x donde F es la función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua. Es fácil ver que esta función satisface ∫ƒ(x)dx=1. La función de densidad de probabilidad junto con la función de distribución acumulativa describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Por ejemplo, la distribución normal (que es una distribución de probabilidad continua) se describe utilizando la función de densidad de probabilidad ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
¿Cuál es la diferencia entre Variables aleatorias y Distribución de probabilidad?
• La variable aleatoria es una función que asocia valores de un espacio muestral a un número real.
• La distribución de probabilidad es una función que asocia los valores que puede tomar una variable aleatoria a la respectiva probabilidad de ocurrencia.
