Sucesión aritmética frente a sucesión geométrica
El estudio de patrones de números y su comportamiento es un estudio importante en el campo de las matemáticas. A menudo, estos patrones se pueden ver en la naturaleza y nos ayudan a explicar su comportamiento desde un punto de vista científico. Las sucesiones aritméticas y las sucesiones geométricas son dos de los patrones básicos que ocurren en los números y que a menudo se encuentran en los fenómenos naturales.
La secuencia es un conjunto de números ordenados. El número de elementos en la secuencia puede ser finito o infinito.
Más sobre secuencias aritméticas (progresión aritmética)
Una secuencia aritmética se define como una secuencia de números con una diferencia constante entre cada término consecutivo. También se conoce como progresión aritmética.
Secuencia aritmética ⇒ a1, a2, a3, a4 , …, unn; donde a2 =a1 + d, a3 =a2+ d, y así sucesivamente.
Si el término inicial es a1 y la diferencia común es d, entonces el término nth de la secuencia está dado por;
an =a1 + (n-1)d
Ampliando el resultado anterior, el término nth también se puede dar como;
an =am + (n-m)d, donde am es un término aleatorio en la secuencia tal que n > m.
El conjunto de números pares y el conjunto de números impares son los ejemplos más simples de secuencias aritméticas, donde cada secuencia tiene una diferencia común (d) de 2.
El número de términos en una sucesión puede ser infinito o finito. En el caso infinito (n → ∞), la secuencia tiende a infinito dependiendo de la diferencia común (an → ±∞). Si la diferencia común es positiva (d > 0), la sucesión tiende al infinito positivo y, si la diferencia común es negativa (d < 0), tiende al infinito negativo. Si los términos son finitos, la secuencia también es finita.
La suma de los términos en la sucesión aritmética se conoce como serie aritmética: Sn=a1 + a 2 + a3 + a4 + ⋯ + an =∑ i=1→n ai; y Sn=(n/2) (a1 + an)=(n/2) [2a1 + (n-1)d] da el valor de serie (Sn)
Más sobre secuencia geométrica (progresión geométrica)
Una sucesión geométrica se define como una sucesión en la que el cociente de dos términos consecutivos cualesquiera es una constante. Esto también se conoce como progresión geométrica.
Secuencia geométrica ⇒ a1, a2, a3, a4 , …, unn; donde a2/a1=r, a3/a2=r, y así sucesivamente, donde r es un número real.
Es más fácil representar la secuencia geométrica usando la razón común (r) y el término inicial (a). Por lo tanto, la sucesión geométrica ⇒ a1, a1r, a1r2, a1r3, …, a1rn-1.
La forma general de los nth términos dados por an =a1r n-1. (Perdiendo el subíndice del término inicial ⇒ an =arn-1)
La sucesión geométrica también puede ser finita o infinita. Si el número de términos es finito, se dice que la sucesión es finita. Y si los términos son infinitos, la secuencia puede ser infinita o finita dependiendo de la razón r. La razón común afecta a muchas de las propiedades de las sucesiones geométricas.
| r > o | 0 < r < +1 | La secuencia converge: decaimiento exponencial, es decir, an → 0, n → ∞ |
| r=1 | Secuencia constante, es decir, an=constante | |
| r > 1 | La secuencia diverge: crecimiento exponencial, es decir, an → ∞, n → ∞ | |
| r< 0 | -1 < r < 0 | La secuencia oscila, pero converge |
| r=1 | La secuencia es alterna y constante, es decir, an=±constante | |
| r < -1 | La secuencia se alterna y diverge. es decir, an → ±∞, n → ∞ | |
| r=0 | La secuencia es una cadena de ceros | |
N. B: En todos los casos anteriores, a1 > 0; si a1 < 0, los signos relacionados con an se invertirán.
El intervalo de tiempo entre los rebotes de una pelota sigue una secuencia geométrica en el modelo ideal, y es una secuencia convergente.
La suma de los términos de la sucesión geométrica se conoce como serie geométrica; Sn =ar+ ar2 + ar3 + ⋯ + arn=∑i=1→n ari. La suma de la serie geométrica se puede calcular usando la siguiente fórmula.
Sn =a(1-r)/(1-r); donde a es el término inicial y r es la razón.
Si la razón, r ≤ 1, la serie converge. Para una serie infinita, el valor de convergencia viene dado por Sn=a/(1-r)
¿Cuál es la diferencia entre secuencia/progresión aritmética y geométrica?
• En una secuencia aritmética, dos términos consecutivos cualesquiera tienen una diferencia común (d), mientras que, en una secuencia geométrica, dos términos consecutivos cualesquiera tienen un cociente constante (r).
• En una secuencia aritmética, la variación de los términos es lineal, es decir, se puede trazar una línea recta que pase por todos los puntos. En una serie geométrica, la variación es exponencial; creciendo o decayendo según la proporción común.
• Todas las sucesiones aritméticas infinitas son divergentes, mientras que las series geométricas infinitas pueden ser divergentes o convergentes.
• La serie geométrica puede mostrar oscilación si la razón r es negativa mientras que la serie aritmética no muestra oscilación
