Transposición frente a matriz inversa
La transpuesta y la inversa son dos tipos de matrices con propiedades especiales que encontramos en el álgebra matricial. Son diferentes entre sí, y no comparten una estrecha relación ya que las operaciones que se realizan para obtenerlos son diferentes.
Tienen amplias aplicaciones en el campo del álgebra lineal y las implementaciones derivadas como la informática.
Más información sobre Transpose Matrix
Transposición de una matriz A puede identificarse como la matriz obtenida al reorganizar las columnas como filas o las filas como columnas. Como resultado, los índices de cada elemento se intercambian. Más formalmente, la transposición de la matriz A se define como
dónde
En una matriz transpuesta, la diagonal permanece sin cambios, pero todos los demás elementos giran alrededor de la diagonal. Además, el tamaño de las matrices también cambia de m×n a n×m.
La transpuesta tiene algunas propiedades importantes y permiten una manipulación más fácil de las matrices. Además, se definen algunas matrices transpuestas importantes en función de sus características. Si la matriz es igual a su transpuesta, entonces la matriz es simétrica. Si la matriz es igual a su negativo de la transpuesta, la matriz es un sesgo simétrico. La transpuesta conjugada de una matriz es la transpuesta de la matriz con los elementos reemplazados por su complejo conjugado.
Más sobre matriz inversa
La inversa de una matriz se define como una matriz que da la matriz identidad cuando se multiplica. Por lo tanto, por definición, si AB=BA=I entonces B es la matriz inversa de A y A es la matriz inversa de B. Entonces, si consideramos B=A -1, entonces AA -1 =A -1 A=Yo
Para que una matriz sea invertible, la condición necesaria y suficiente es que el determinante de A no sea cero; es decir | un |=det(A) ≠ 0. Se dice que una matriz es invertible, no singular o no degenerativa si cumple esta condición. De ello se deduce que A es una matriz cuadrada y tanto A -1 como A tienen el mismo tamaño.
La inversa de la matriz A se puede calcular mediante muchos métodos de álgebra lineal, como la eliminación de Gauss, la descomposición propia, la descomposición de Cholesky y la regla de Carmer. Una matriz también se puede invertir mediante el método de inversión de bloques y la serie de Neuman.
¿Cuál es la diferencia entre transposición y matriz inversa?
• La transposición se obtiene reorganizando las columnas y las filas en la matriz, mientras que la inversa se obtiene mediante un cálculo numérico relativamente difícil. (Pero en realidad ambas son transformaciones lineales)
• Como resultado directo, los elementos de la transposición solo cambian de posición, pero los valores son los mismos. Pero a la inversa, los números pueden ser completamente diferentes de la matriz original.
• Cada matriz puede tener una transpuesta, pero la inversa se define solo para matrices cuadradas, y el determinante tiene que ser un determinante distinto de cero.
