Transposición frente a transposición conjugada
Transposición de una matriz A puede identificarse como la matriz obtenida al reorganizar las columnas como filas o las filas como columnas. Como resultado, los índices de cada elemento se intercambian. Más formalmente, la transposición de una matriz A, se define como
dónde
En una matriz transpuesta, la diagonal permanece sin cambios. Pero todos los demás elementos giran alrededor de la diagonal. Además, el tamaño de las matrices también cambia de m×n a n×m.
La transpuesta tiene algunas propiedades importantes y permiten una manipulación más fácil de las matrices. Además, se definen algunas matrices transpuestas importantes en función de sus características. Si la matriz es igual a su transpuesta, entonces la matriz es simétrica. Si la matriz es igual a su negativo de la transpuesta, entonces la matriz es simétrica oblicua.
La transpuesta conjugada de una matriz es la transpuesta de la matriz con los elementos reemplazados por su complejo conjugado. Es decir, el complejo conjugado (A) se define como la transpuesta del complejo conjugado de la matriz A.
A=(à)T; En detalle,
dónde
y āji ε C.
También se conoce como transpuesta hermitiana y conjugada hermitiana. Si la transpuesta conjugada es igual a la propia matriz, la matriz se conoce como matriz hermitiana. Si la transpuesta conjugada es igual al negativo de la matriz, es una matriz hermitiana sesgada. Y si la inversa de la matriz es igual al complejo conjugado, la matriz es unitaria.
Del mismo modo, todas las matrices especiales conjugadas complejas también tienen propiedades especiales que se pueden usar para manipularlas matemáticamente fácilmente. La transpuesta conjugada se usa ampliamente en la mecánica cuántica y sus campos relevantes.
¿Cuál es la diferencia entre la transposición y la transposición conjugada?
• La transposición de una matriz se obtiene reorganizando las columnas en filas o las filas en columnas. El complejo conjugado de una matriz se obtiene reemplazando cada elemento por su complejo conjugado (es decir, x+iy ⇛ x-iy o viceversa). La transpuesta conjugada se obtiene realizando ambas operaciones en la matriz.
• Por lo tanto, la transpuesta conjugada es solo una matriz transpuesta con sus complejos conjugados como elementos.
