Series aritméticas vs geométricas
La definición matemática de una serie está estrechamente relacionada con las sucesiones. Una secuencia es un conjunto ordenado de números y puede ser un conjunto finito o infinito. Una secuencia de números en la que la diferencia entre dos elementos es una constante se conoce como progresión aritmética. Una secuencia con un cociente constante de dos números sucesivos se conoce como progresión geométrica. Estas progresiones pueden ser finitas o infinitas, y si son finitas, el número de términos es contable, de lo contrario, incontable.
Generalmente, la suma de los elementos en una progresión se puede definir como una serie. La suma de una progresión aritmética se conoce como serie aritmética. Asimismo, la suma de una progresión geométrica se conoce como serie geométrica.
Más sobre series aritméticas
En una serie aritmética, los términos sucesivos tienen una diferencia constante.
Sn =un1 + un2 + un3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; donde a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, y así sucesivamente.
Esta diferencia d se conoce como diferencia común, y el término nth está dado por an =a 1+ (n-1)d; donde a1 es el primer término.
El comportamiento de la serie cambia en función de la diferencia común d. Si la diferencia común es positiva la progresión tiende a infinito positivo, y si la diferencia común es negativa tiende a infinito negativo.
La suma de la serie se puede obtener mediante la siguiente fórmula simple, que fue desarrollada por primera vez por el astrónomo y matemático indio Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
La suma Sn puede ser finita o infinita, según el número de términos.
Más sobre series geométricas
Una serie geométrica es una serie con el cociente de los números sucesivos constante. Es una serie importante que se encuentra en el estudio de la serie, por las propiedades que posee.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Con base en la relación r, el comportamiento de la serie se puede categorizar de la siguiente manera. r={|r|≥1 serie diverge; r≤1 serie converge}. Además, si r<0 la serie oscila, es decir, la serie tiene valores alternos.
La suma de la serie geométrica se puede calcular usando la siguiente fórmula. Sn =a(1-r) / (1-r); donde a es el término inicial y r es la razón. Si la razón r≤1, la serie converge. Para una serie infinita, el valor de la convergencia viene dado por Sn=a / (1-r).
Las series geométricas tienen numerosas aplicaciones en los campos de las ciencias físicas, la ingeniería y la economía
¿Cuál es la diferencia entre series aritméticas y geométricas?
• Una serie aritmética es una serie con una diferencia constante entre dos términos adyacentes.
• Una serie geométrica es una serie con un cociente constante entre dos términos sucesivos.
• Todas las series aritméticas infinitas son siempre divergentes, pero dependiendo de la razón, la serie geométrica puede ser convergente o divergente.
• La serie geométrica puede tener oscilación en los valores; es decir, los números cambian de signo alternativamente, pero la serie aritmética no puede tener oscilaciones.
