Diferencia entre la serie Power y la serie Taylor

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 13:36

Serie Power vs Serie Taylor

En matemáticas, una secuencia real es una lista ordenada de números reales. Formalmente, es una función del conjunto de los números naturales al conjunto de los números reales. Si a_n es el término n^th de una sucesión, denotamos la sucesión con o con un ₁, a ₂, …, a_n, …. Por ejemplo, considere la secuencia 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Se puede denotar como {1/n}.}

Es posible definir una serie usando secuencias. Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Por lo tanto, para cada secuencia, existe una secuencia asociada y viceversa. Si {a_{n} es la secuencia bajo consideración, entonces, la serie formada por esa secuencia se puede representar como:}

Así, en el ejemplo anterior, la serie asociada es 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Como sugieren los nombres, la serie de potencias es un tipo especial de serie y se utiliza ampliamente en análisis numérico y modelos matemáticos relacionados. La serie de Taylor es una serie de potencias especial que proporciona una forma alternativa y fácil de manipular de representar funciones conocidas.

¿Qué es la serie Power?

Una serie de potencias es una serie de la forma

que es convergente (posiblemente) para algún intervalo centrado en c. Los coeficientes a_{npueden ser números reales o complejos, y es independiente de x; es decir, la variable ficticia.}

Por ejemplo, al establecer a_n=1 para cada n, y c=0, la serie de potencias 1+x+x² Se obtiene +…..+ x^{+…. Es fácil observar que cuando x ε (-1, 1), esta serie de potencias converge a 1/(1-x).}

Una serie de potencias converge cuando x=c. Los otros valores de x para los que converge la serie de potencias siempre tomarán la forma de un intervalo abierto centrado en c. Es decir, habrá un valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada x que satisface |x-c|≤ R, la serie de potencias es convergente y para cada x que satisface |x-c|> R, la serie de potencias es divergente. Este valor R se denomina radio de convergencia de la serie de potencias (R puede tomar cualquier valor real o infinito positivo).

Las series de potencias se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las siguientes reglas. Considere las dos series de potencias:

Entonces,

es decir los términos semejantes se suman o se restan. Además, es posible multiplicar y dividir las dos series de potencias usando la identidad,

¿Qué es la serie de Taylor?

La serie de Taylor se define para una función f (x) que es infinitamente diferenciable en un intervalo. Suponga que f (x) es derivable en un intervalo con centro en c. Entonces la serie de potencias que viene dada por

se llama desarrollo en serie de Taylor de la función f (x) sobre c. (Aquí f⁽ⁿ⁾ (c) denota la n^{th derivada en x=c). En análisis numérico, se usa un número finito de términos en esta expansión infinita para calcular valores en puntos donde la serie converge a la función original.}

Se dice que una función f (x) es analítica en el intervalo (a, b), si para cada x ε (a, b), la serie de Taylor de f (x) converge a la función f (X). Por ejemplo, 1/(1-x) es analítico en (-1, 1), ya que su expansión de Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… converge a la función en ese intervalo, y e}x ^{es analítico en todas partes, ya que la serie de Taylor de e}x ^{converge a e} x ^{para cada número real x.}

¿Cuál es la diferencia entre la serie Power y la serie Taylor?

1. La serie de Taylor es una clase especial de serie de potencias definida solo para funciones que son infinitamente diferenciables en algún intervalo abierto.

2. Las series de Taylor toman la forma especial

mientras que una serie de potencias puede ser cualquier serie de la forma