Diferencia entre integración y suma

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 13:36

Integración frente a sumatoria

En las matemáticas de secundaria anteriores, la integración y la suma se encuentran a menudo en operaciones matemáticas. Aparentemente se usan como herramientas diferentes y en diferentes situaciones, pero comparten una relación muy estrecha.

Más sobre la sumatoria

La suma es la operación de sumar una secuencia de números y la operación a menudo se denota con la letra griega de sigma mayúscula Σ. Se utiliza para abreviar la sumatoria e igual a la suma/total de la secuencia. A menudo se utilizan para representar las series, que esencialmente son secuencias infinitas resumidas. También se pueden utilizar para indicar la suma de vectores, matrices o polinomios.

La suma generalmente se realiza para un rango de valores que se pueden representar mediante un término general, como una serie que tiene un término común. El punto inicial y el punto final de la suma se conocen como límite inferior y límite superior de la suma, respectivamente.

Por ejemplo, la suma de la secuencia a₁, a₂, a₃, a ₄, …, un_n es un₁ + un₂ + un ₃ + … + a_n que se puede representar fácilmente usando la notación de suma como ∑ _i=1 a_{i; i se llama índice de sumatoria.}

Se utilizan muchas variaciones para la suma según la aplicación. En algunos casos, el límite superior y el límite inferior se pueden dar como un intervalo o un rango, como ∑_1≤i≤100 a_i y ∑_{i∈[1, 100]} a_i O se puede dar como un conjunto de números como ∑_i∈P a_{i, donde P es un conjunto definido.}

En algunos casos, se pueden usar dos o más signos sigma, pero se pueden generalizar de la siguiente manera; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Además, la suma sigue muchas reglas algebraicas. Dado que la operación incrustada es la suma, muchas de las reglas comunes del álgebra se pueden aplicar a las sumas mismas y a los términos individuales representados por la suma.

Más sobre la integración

La integración se define como el proceso inverso de diferenciación. Pero en su visión geométrica también se puede considerar como el área encerrada por la curva de la función y el eje. Por lo tanto, el cálculo del área da el valor de una integral definida como se muestra en el diagrama.

Fuente de la imagen:

El valor de la integral definida es en realidad la suma de las pequeñas tiras dentro de la curva y el eje. El área de cada tira es la altura × anchura en el punto del eje considerado. El ancho es un valor que podemos elegir, digamos ∆x. Y la altura es aproximadamente el valor de la función en el punto considerado, digamos f (x_{i). Del diagrama, es evidente que cuanto más pequeñas son las tiras, mejor encajan las tiras dentro del área delimitada, por lo tanto, mejor aproximación del valor.}

Entonces, en general, la integral definida I, entre los puntos a y b (es decir, en el intervalo [a, b] donde a<b), se puede dar como I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, donde n es el número de tiras (n=(b-a)/∆x). Esta suma del área se puede representar fácilmente usando la notación de suma como I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Dado que la aproximación es mejor cuando ∆x es menor, podemos calcular el valor cuando ∆x→0. Por lo tanto, es razonable decir I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Como generalización del concepto anterior, podemos elegir el ∆x en función del intervalo considerado indexado por i (eligiendo el ancho del área en función de la posición). Entonces obtenemos

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Esto se conoce como la integral de Reimann de la función f (x) en el intervalo [a, b]. En este caso, a y b se conocen como el límite superior y el límite inferior de la integral. La integral de Reimann es una forma básica de todos los métodos de integración.

En esencia, la integración es la suma del área cuando el ancho del rectángulo es infinitesimal.

¿Cuál es la diferencia entre integración y sumatoria?

• La suma es sumar una secuencia de números. Por lo general, la suma se da de esta forma ∑_i=1 a_{i cuando los términos de la secuencia tienen un patrón y se pueden expresar usando un término general.}

• La integración es básicamente el área delimitada por la curva de la función, el eje y los límites superior e inferior. Esta área se puede dar como la suma de áreas mucho más pequeñas incluidas en el área delimitada.

• La suma involucra los valores discretos con los límites superior e inferior, mientras que la integración involucra valores continuos.

• La integración puede interpretarse como una forma especial de sumatoria.

• En los métodos de cálculo numérico, la integración siempre se realiza como una sumatoria.