Derivada vs Diferencial
En cálculo diferencial, la derivada y la diferencial de una función están estrechamente relacionadas pero tienen significados muy diferentes y se utilizan para representar dos importantes objetos matemáticos relacionados con funciones diferenciables.
¿Qué es la derivada?
La derivada de una función mide la velocidad a la que cambia el valor de la función a medida que cambia su entrada. En funciones de múltiples variables, el cambio en el valor de la función depende de la dirección del cambio de los valores de las variables independientes. Por lo tanto, en tales casos, se elige una dirección específica y la función se diferencia en esa dirección particular. Esa derivada se llama derivada direccional. Las derivadas parciales son un tipo especial de derivadas direccionales.
La derivada de una función vectorial f se puede definir como el límite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] dondequiera que exista finitamente. Como se mencionó antes, esto nos da la tasa de aumento de la función f a lo largo de la dirección del vector u. En el caso de una función de un solo valor, esto se reduce a la conocida definición de la derivada, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/látex]
Por ejemplo, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] es diferenciable en todas partes, y la derivada es igual al límite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], que es igual a [latex]3x^{2}+4[/latex]. Las derivadas de funciones como [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existen en todas partes. Son respectivamente iguales a las funciones [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Esto se conoce como la primera derivada. Por lo general, la primera derivada de la función f se denota por f (1) Ahora, usando esta notación, es posible definir derivadas de orden superior. [látex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] es la derivada direccional de segundo orden y denota la n th derivada por f (n) para cada n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], define la derivada n th.
¿Qué es el diferencial?
Diferencial de una función representa el cambio en la función con respecto a los cambios en la variable o variables independientes. En la notación habitual, para una función f dada de una sola variable x, el diferencial total de orden 1 df está dado por, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Esto significa que para un cambio infinitesimal en x (es decir, d x), habrá un f (1)(x)d x cambio en f.
Usando límites uno puede terminar con esta definición de la siguiente manera. Suponga que ∆ x es el cambio en x en un punto arbitrario x y ∆ f es el cambio correspondiente en la función f. Se puede demostrar que ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, donde ϵ es el error. Ahora, el límite ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (usando la definición de derivada establecida anteriormente) y por lo tanto, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Por lo tanto, es posible concluya que, ∆ x→ 0 ϵ=0. Ahora, denotando ∆ x→ 0 ∆ f como d f y ∆ x→ 0 ∆ x como d x se obtiene rigurosamente la definición del diferencial.
Por ejemplo, la diferencial de la función [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] es [latex](3x^{2}+4)dx[/látex].
En el caso de funciones de dos o más variables, la diferencial total de una función se define como la suma de las diferenciales en las direcciones de cada una de las variables independientes. Matemáticamente, se puede expresar como [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
¿Cuál es la diferencia entre derivada y diferencial?
• La derivada se refiere a la tasa de cambio de una función, mientras que la diferencial se refiere al cambio real de la función, cuando la variable independiente está sujeta a cambios.
• La derivada viene dada por [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], pero el diferencial viene dado por [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
