Ecuación diferencial frente a ecuación diferencial
Un fenómeno natural puede describirse matemáticamente mediante funciones de una serie de variables y parámetros independientes. Especialmente cuando se expresan mediante una función de posición espacial y tiempo, da como resultado ecuaciones. La función puede cambiar con el cambio en las variables independientes o los parámetros. Un cambio infinitesimal que ocurre en la función cuando cambia una de sus variables se llama la derivada de esa función.
Una ecuación diferencial es cualquier ecuación que contiene derivadas de una función además de la función misma. Una ecuación diferencial simple es la de la Segunda Ley del Movimiento de Newton. Si un objeto de masa m se mueve con aceleración 'a' y sobre él actúa una fuerza F, entonces la Segunda Ley de Newton nos dice que F=ma. Aquí nuevamente, 'a' varía con el tiempo, podemos reescribir 'a' como; a=dv/dt; v es la velocidad. La velocidad es función del espacio y del tiempo, es decir v=ds/dt; por lo tanto ‘a’=d2s/dt2
Teniendo esto en cuenta, podemos reescribir la segunda ley de Newton como una ecuación diferencial;
'F' en función de v y t – F(v, t)=mdv/dt, o
'F' en función de s y t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Hay dos tipos de ecuaciones diferenciales; ecuación diferencial ordinaria, abreviada por ODE o ecuación diferencial parcial, abreviada por PDE. La ecuación diferencial ordinaria tendrá derivadas ordinarias (derivadas de una sola variable). La ecuación diferencial parcial tendrá derivadas diferenciales (derivadas de más de una variable) en ella.
p. ej. F=m d2s/dt2 es una ODA, mientras que α2 d 2u/dx2=du/dt es una PDE, tiene derivadas de t y x.
La ecuación diferencial es lo mismo que la ecuación diferencial pero la vemos en un contexto diferente. En las ecuaciones diferenciales, la variable independiente, como el tiempo, se considera en el contexto del sistema de tiempo continuo. En el sistema de tiempo discreto, llamamos a la función ecuación en diferencias.
La ecuación de diferencias es una función de diferencias. Las diferencias en las variables independientes son de tres tipos; secuencia de número, sistema dinámico discreto y función iterada.
En la secuencia de números, el cambio se genera recursivamente usando una regla para relacionar cada número de la secuencia con los números anteriores de la secuencia.
La ecuación de diferencia en un sistema dinámico discreto toma una señal de entrada discreta y produce una señal de salida.
La ecuación de diferencia es un mapa iterado para una función iterada. Por ejemplo, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….es la secuencia de una función iterada. La f(y0) es la primera iteración de y0 La k-ésima iteración será denotada por fk (y0).
