Derivada vs Integral
La diferenciación y la integración son dos operaciones fundamentales en Cálculo. Tienen numerosas aplicaciones en varios campos, como las Matemáticas, la ingeniería y la Física. Tanto la derivada como la integral analizan el comportamiento de una función o el comportamiento de una entidad física que nos interesa.
¿Qué es Derivado?
Suponga que y=ƒ(x) y x0 está en el dominio de ƒ. Entonces limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx se denomina tasa de cambio instantáneo de ƒ en x0, siempre que este límite exista de forma finita. Este límite también se llama la derivada de at y se denota por ƒ(x).
El valor de la derivada de una función f en un punto arbitrario x en el dominio de la función está dado por limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Esto se indica mediante cualquiera de las siguientes expresiones: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Para funciones con varias variables, definimos derivada parcial. La derivada parcial de una función con varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, suponiendo que las demás variables son constantes. El símbolo de la derivada parcial es ∂.
Geométricamente, la derivada de una función se puede interpretar como la pendiente de la curva de la función ƒ(x).
¿Qué es la integral?
La integración o antidiferenciación es el proceso inverso de la diferenciación. En otras palabras, es el proceso de encontrar una función original cuando se da la derivada de la función. Por lo tanto, una integral o una antiderivada de una función ƒ(x) si, ƒ(x)=F (x) se puede definir como la función F (x), para todo x en el dominio de ƒ(x).
La expresión ∫ƒ(x) dx denota la derivada de la función ƒ(x). Si ƒ(x)=F (x), entonces ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, donde C es una constante, ∫ƒ(x) dx se denomina integral indefinida de ƒ(x).
Para cualquier función ƒ, que no es necesariamente no negativa, y definida en el intervalo [a, b], a∫b ƒ(x) dx se llama integral definida ƒ en [a, b].
La integral definida a∫bƒ(x) dx de una función ƒ(x) puede interpretarse geométricamente como el área de la región delimitada por la curva ƒ(x), el eje x y las líneas x=a y x=b.
¿Cuál es la diferencia entre Derivada e Integral?
• La derivada es el resultado de la diferenciación del proceso, mientras que la integral es el resultado de la integración del proceso.
• La derivada de una función representa la pendiente de la curva en cualquier punto dado, mientras que la integral representa el área bajo la curva.
