Diferencia entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 13:36

Integral de Riemann frente a Integral de Lebesgue

La integración es un tema principal en el cálculo. En un sentido más amplio, la integración puede verse como el proceso inverso de la diferenciación. Al modelar problemas del mundo real, es fácil escribir expresiones que involucren derivadas. En tal situación, se requiere la operación de integración para encontrar la función que dio la derivada particular.

Desde otro ángulo, la integración es un proceso, que suma el producto de una función ƒ(x) y δx, donde δx tiende a ser un cierto límite. Por eso, usamos el símbolo de integración como ∫. El símbolo ∫ es, de hecho, lo que obtenemos al estirar la letra s para referirnos a sum.

Integral de Riemann

Considere una función y=ƒ(x). La integral de y entre a y b, donde a y b pertenecen a un conjunto x, se escribe como _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Esto se denomina integral definida de la función continua y de un solo valor y=ƒ(x) entre a y b. Esto da el área bajo la curva entre a y b. Esto también se llama integral de Riemann. La integral de Riemann fue creada por Bernhard Riemann. La integral de Riemann de una función continua se basa en la medida de Jordan, por lo tanto, también se define como el límite de las sumas de Riemann de la función. Para una función de valor real definida en un intervalo cerrado, la integral de Riemann de la función con respecto a una partición x₁, x₂, …, x n _{definido en el intervalo [a, b] y t}1_{, t}2_{, …, t n}, donde x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 para cada i ε {1, 2, …, n}, la suma de Riemann se define como Σ_{i=o a n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Integral de Lebesgue

Lebesgue es otro tipo de integral, que cubre una amplia variedad de casos que la integral de Riemann. La integral de lebesgue fue introducida por Henri Lebesgue en 1902. La integración de Legesgue puede considerarse como una generalización de la integración de Riemann.

¿Por qué necesitamos estudiar otra integral?

Consideremos la función característica ƒ_{A (x)=}{_{0 si, x no ε A}^{1 si, x ε A}en un conjunto A. Entonces combinación lineal finita de funciones características, que se define como F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) se denomina función simple si E} i _{es medible para cada i. La integral de Lebesgue de F (x) sobre E se denota por} E_{∫ ƒ(x)dx. La función F (x) no es integrable de Riemann. Por lo tanto, la integral de Lebesgue se reformula como integral de Riemann, que tiene algunas restricciones sobre las funciones que se van a integrar.}

¿Cuál es la diferencia entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue?

· La integral de Lebesgue es una forma de generalización de la integral de Riemann.

· La integral de Lebesgue permite una infinidad contable de discontinuidades, mientras que la integral de Riemann permite un número finito de discontinuidades.