Diferenciación vs Derivada
En cálculo diferencial, la derivada y la diferenciación están estrechamente relacionadas, pero son muy diferentes, y se utilizan para representar dos importantes conceptos matemáticos relacionados con las funciones.
¿Qué es la derivada?
La derivada de una función mide la velocidad a la que cambia el valor de la función a medida que cambia su entrada. En funciones de múltiples variables, el cambio en el valor de la función depende de la dirección del cambio de los valores de las variables independientes. Por lo tanto, en tales casos, se elige una dirección específica y la función se diferencia en esa dirección particular. Esa derivada se llama derivada direccional. Las derivadas parciales son un tipo especial de derivadas direccionales.
La derivada de una función vectorial f se puede definir como el límite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] dondequiera que exista finitamente. Como se mencionó antes, esto nos da la tasa de aumento de la función f a lo largo de la dirección del vector u. En el caso de una función de un solo valor, esto se reduce a la conocida definición de la derivada, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/látex]
Por ejemplo, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] es diferenciable en todas partes, y la derivada es igual al límite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], que es igual a [latex]3x^{2}+4[/latex]. Las derivadas de funciones como [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existen en todas partes. Son respectivamente iguales a las funciones [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Esto se conoce como la primera derivada. Por lo general, la primera derivada de la función f se denota por f (1) Ahora, usando esta notación, es posible definir derivadas de orden superior. [látex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] es la derivada direccional de segundo orden y denota la n th derivada por f (n) para cada n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], define la derivada n th.
¿Qué es la diferenciación?
La diferenciación es el proceso de encontrar la derivada de una función diferenciable. El operador D denotado por D representa la diferenciación en algunos contextos. Si x es la variable independiente, entonces D ≡ d/dx. El operador D es un operador lineal, es decir, para cualquiera de las dos funciones derivables f y g y la constante c, se cumplen las siguientes propiedades.
Yo. re (f + g)=re (f) + re (g)
II. D (cf)=cD (f)
Usando el operador D, las otras reglas asociadas con la diferenciación se pueden expresar de la siguiente manera. re (f g)=re (f) gramo + f re (g), re (f/ g)=[re (f) g – f D (g)]/ g 2 y D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Por ejemplo, cuando F(x)=x 2sin x se deriva con respecto a x usando las reglas dadas, la respuesta será 2 x sin x + x2porque x.
¿Cuál es la diferencia entre diferenciación y derivada?• La derivada se refiere a la tasa de cambio de una función • La diferenciación es el proceso de encontrar la derivada de una función. |
