Diferencia entre ecuación lineal y ecuación no lineal

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 13:36

Ecuación lineal frente a ecuación no lineal

En matemáticas, las ecuaciones algebraicas son ecuaciones que se forman usando polinomios. Cuando se escriben explícitamente, las ecuaciones tendrán la forma P(x)=0, donde x es un vector de n variables desconocidas y P es un polinomio. Por ejemplo, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 es una ecuación algebraica en dos variables escrita explícitamente. Además, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ es una ecuación algebraica, pero en forma implícita y tomará la forma Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, una vez escrito explícitamente.}

Una característica importante de una ecuación algebraica es su grado. Se define como la potencia más alta de los términos que aparecen en la ecuación. Si un término consta de dos o más variables, se tomará como potencia del término la suma de los exponentes de cada variable. Obsérvese que según esta definición P(x, y)=0 es de grado 5, mientras que Q(x, y, z)=0 es de grado 5.

Las ecuaciones lineales y las ecuaciones no lineales son dos particiones definidas en el conjunto de ecuaciones algebraicas. El grado de la ecuación es el factor que los diferencia entre sí.

¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica de grado 1. Por ejemplo, 4x + 5=0 es una ecuación lineal de una variable. x + y + 5z=0 y 4x=3w + 5y + 7z son ecuaciones lineales de 3 y 4 variables respectivamente. En general, una ecuación lineal de n variables tomará la forma m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Aquí, x}i _{son las variables desconocidas, m}i _{y b son números reales donde cada uno de m}i _{es distinto de cero.}

Tal ecuación representa un hiperplano en el espacio euclidiano n-dimensional. En particular, una ecuación lineal de dos variables representa una línea recta en el plano cartesiano y una ecuación lineal de tres variables representa un plano en el espacio tridimensional euclidiano.

¿Qué es una ecuación no lineal?

Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica, que no es lineal. En otras palabras, una ecuación no lineal es una ecuación algebraica de grado 2 o superior. x² + 3x + 2=0 es una ecuación no lineal de variable única. x² + y³+ 3xy=4 y 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 son ejemplos de ecuaciones no lineales de 3 y 4 variables respectivamente.}

Una ecuación no lineal de segundo grado se llama ecuación cuadrática. Si el grado es 3, entonces se llama ecuación cúbica. Las ecuaciones de grado 4 y grado 5 se denominan ecuaciones quárticas y quínticas respectivamente. Se ha demostrado que no existe un método analítico para resolver cualquier ecuación no lineal de grado 5, y esto también es cierto para cualquier grado superior. Las ecuaciones no lineales resolubles representan hipersuperficies que no son hiperplanos.

¿Cuál es la diferencia entre ecuación lineal y ecuación no lineal?

• Una ecuación lineal es una ecuación algebraica de grado 1, pero una ecuación no lineal es una ecuación algebraica de grado 2 o superior.

• Aunque cualquier ecuación lineal se puede resolver analíticamente, no es el caso de las ecuaciones no lineales.

• En el espacio euclidiano de n dimensiones, el espacio solución de una ecuación lineal de n variables es un hiperplano, mientras que el de una ecuación no lineal de n variables es una hipersuperficie, que no es un hiperplano. (cuadráticas, superficies cúbicas y etc.)