Diferencia entre ecuación lineal y ecuación cuadrática

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 13:36

Ecuación lineal frente a ecuación cuadrática

En matemáticas, las ecuaciones algebraicas son ecuaciones que se forman usando polinomios. Cuando se escriben explícitamente, las ecuaciones tendrán la forma P(x)=0, donde x es un vector de n variables desconocidas y P es un polinomio. Por ejemplo, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 es una ecuación algebraica de dos variables escritas explícitamente. Además, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ es una ecuación algebraica, pero en forma implícita. Tomará la forma Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, una vez escrito explícitamente.}

Una característica importante de una ecuación algebraica es su grado. Se define como la potencia más alta de los términos que aparecen en la ecuación. Si un término consta de dos o más variables, se tomará como potencia del término la suma de los exponentes de cada variable. Obsérvese que según esta definición P(x, y)=0 es de grado 4 mientras que Q(x, y, z)=0 es de grado 5.

Las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas son dos tipos diferentes de ecuaciones algebraicas. El grado de la ecuación es el factor que las diferencia del resto de ecuaciones algebraicas.

¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica de grado 1. Por ejemplo, 4x + 5=0 es una ecuación lineal de una variable. x + y + 5z=0 y 4x=3w + 5y + 7z son ecuaciones lineales de 3 y 4 variables respectivamente. En general, una ecuación lineal de n variables tomará la forma m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Aquí, x_i son las variables desconocidas, m_i y b son números reales donde cada uno de m_i es distinto de cero.

Tal ecuación representa un hiperplano en el espacio euclidiano n-dimensional. En particular, una ecuación lineal de dos variables representa una línea recta en el plano cartesiano y una ecuación lineal de tres variables representa un plano en el espacio tridimensional euclidiano.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado. x² + 3x + 2=0 es una ecuación cuadrática de una sola variable. x² + y² + 3x=4 y 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas de 2 y 3 variables respectivamente.}

En el caso de una sola variable, la forma general de una ecuación cuadrática es ax² + bx + c=0. Donde a, b, c son números reales de los cuales 'a' es distinto de cero. El discriminante ∆=(b^{2 – 4ac) determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación serán muy distintas, muy parecidas y complejas según ∆ sea positivo, cero y negativo. Las raíces de la ecuación se pueden encontrar fácilmente usando la fórmula x=(- b ± √∆) / 2a.}

En el caso de dos variables, la forma general sería ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, y esto representa una cónica (parábola, hipérbola o elipse) en el plano cartesiano. En dimensiones superiores, este tipo de ecuaciones representan hipersuperficies conocidas como cuádricas.}

¿Cuál es la diferencia entre ecuaciones lineales y cuadráticas?

• Una ecuación lineal es una ecuación algebraica de grado 1, mientras que una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de grado 2.

• En el espacio euclidiano de n dimensiones, el espacio solución de una ecuación lineal de n variables es un hiperplano, mientras que el de una ecuación cuadrática de n variables es una superficie cuádrica.