Propiedad transitiva frente a propiedad de sustitución
La propiedad de sustitución se usa para valores o variables que representan números. La propiedad de sustitución de la igualdad establece que para cualquier número a y b, si a=b, entonces a puede ser reemplazado por b. Por lo tanto, si a=b, entonces podemos cambiar cualquier 'a' por una 'b' o cualquier 'b' por una 'a'.
Por ejemplo, si se da que x=6, entonces podemos resolver la expresión (x+4)/5 sustituyendo el valor de x. Sustituyendo 5 por x en la expresión anterior; (6+4)/5=2. Esencialmente, dos valores cualesquiera pueden sustituirse entre sí, si y solo si, son iguales entre sí.
Hay una propiedad de sustitución definida en geometría. De acuerdo con esta definición de propiedad de sustitución, si dos objetos geométricos (pueden ser dos ángulos, segmentos, triángulos o lo que sea) son congruentes, entonces estos dos objetos geométricos pueden reemplazarse entre sí en una declaración que involucre a uno de ellos.
La propiedad transitiva es una definición más formal, que se define en relaciones binarias. Una relación R del conjunto A al conjunto B es un conjunto de pares ordenados, si A y B son iguales, decimos que la relación es una relación binaria sobre A. La propiedad transitiva es una de las propiedades (Reflexiva, Simétrica, Transitivo) utilizado para definir relaciones de equivalencia.
Una relación R es transitiva, si y sólo si, x está relacionado por R con y, e y está relacionado por R con z, entonces x está relacionado por R con z. Simbólicamente, una propiedad transitiva se puede definir de la siguiente manera. Sean a, b y c pertenecientes a un conjunto A, una relación binaria ‘~’ tiene la propiedad transitiva definida por, Si a ~ b y b ~ c, entonces eso implica a ~ c.
Por ejemplo, "ser mayor que" es una relación transitiva. Si a, b y c son números reales tales que a es mayor que b y b es mayor que c, entonces es una consecuencia lógica que a es mayor que c. “Ser más alto” también es una relación transitiva. Si Kate es más alta que Mary y Mary es más alta que Jenney, implica que Kate es más alta que Jenney.
No podemos aplicar criterios de relación transitiva en todas las relaciones binarias. Por ejemplo, si Bill es el padre de John y John es el padre de Fred, eso no implica que Bill sea el padre de Fred. Del mismo modo, "me gusta" es una propiedad no transitiva. Si a Wilson le gusta Henry ya Henry le gusta David, eso no implica que a Wilson le guste David. Por lo tanto, no es una relación transitiva.
En geometría, la propiedad transitiva (para tres segmentos o ángulos) se define de la siguiente manera:
Si dos segmentos (o ángulos) son congruentes con un tercer segmento (o ángulo), entonces son congruentes entre sí.
La propiedad transitiva de la igualdad se define de la siguiente manera. Sean a, b y c tres elementos cualesquiera del conjunto A, tales que a=b y b=c, entonces a=c. Esto se parece a la propiedad de sustitución, que se puede considerar reemplazando b con c en la ecuación a=b. Sin embargo, estas dos propiedades no son iguales.
