Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales
Una ecuación que contiene al menos un coeficiente diferencial o derivada de una variable desconocida se conoce como ecuación diferencial. Una ecuación diferencial puede ser lineal o no lineal. El objetivo de este artículo es explicar qué es una ecuación diferencial lineal, qué es una ecuación diferencial no lineal y cuál es la diferencia entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Desde el desarrollo del cálculo en el siglo XVIII por matemáticos como Newton y Leibnitz, la ecuación diferencial ha desempeñado un papel importante en la historia de las matemáticas. Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en matemáticas debido a su rango de aplicaciones. Las ecuaciones diferenciales están en el corazón de cada modelo que desarrollamos para explicar cualquier escenario o evento en el mundo, ya sea en física, ingeniería, química, estadística, análisis financiero o biología (la lista es interminable). De hecho, hasta que el cálculo se convirtió en una teoría establecida, las herramientas matemáticas adecuadas no estaban disponibles para analizar los problemas interesantes de la naturaleza.
Las ecuaciones resultantes de una aplicación específica de cálculo pueden ser muy complejas y, a veces, no tienen solución. Sin embargo, hay algunos que podemos resolver, pero pueden parecer similares y confusos. Por lo tanto, para una identificación más fácil, las ecuaciones diferenciales se clasifican por su comportamiento matemático. Lineal y no lineal es una de esas categorizaciones. Es importante identificar la diferencia entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
¿Qué es una ecuación diferencial lineal?
Supongamos que f: X→Y y f(x)=y, una ecuación diferencial sin términos no lineales de la función desconocida y y sus derivadas se conoce como ecuación diferencial lineal.
Impone la condición de que y no puede tener términos de índice superior como y2, y3, … y múltiplos de derivadas tales como
Tampoco puede contener términos no lineales como Sin y, e y ^-2 o ln y. Toma la forma,
donde y y g son funciones de x. La ecuación es una ecuación diferencial de orden n, que es el índice de la derivada de mayor orden.
En una ecuación diferencial lineal, el operador diferencial es un operador lineal y las soluciones forman un espacio vectorial. Como resultado de la naturaleza lineal del conjunto solución, una combinación lineal de las soluciones también es una solución a la ecuación diferencial. Es decir, si y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial, entonces C1 y 1+ C2 y2 también es una solución.
La linealidad de la ecuación es solo un parámetro de la clasificación y, además, se puede categorizar en ecuaciones diferenciales homogéneas o no homogéneas y ordinarias o parciales. Si la función es g=0 entonces la ecuación es una ecuación diferencial homogénea lineal. Si f es una función de dos o más variables independientes (f: X, T→Y) y f(x, t)=y, entonces la ecuación es una ecuación diferencial parcial lineal.
El método de solución para la ecuación diferencial depende del tipo y los coeficientes de la ecuación diferencial. El caso más fácil surge cuando los coeficientes son constantes. Un ejemplo clásico para este caso es la segunda ley de movimiento de Newton y sus diversas aplicaciones. La segunda ley de Newton produce una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
¿Qué es una ecuación diferencial no lineal?
Las ecuaciones que contienen términos no lineales se conocen como ecuaciones diferenciales no lineales.
Todo lo anterior son ecuaciones diferenciales no lineales. Las ecuaciones diferenciales no lineales son difíciles de resolver, por lo tanto, se requiere un estudio detallado para obtener una solución correcta. En el caso de ecuaciones diferenciales parciales, la mayoría de las ecuaciones no tienen solución general. Por lo tanto, cada ecuación debe tratarse de forma independiente.
La ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de Euler en dinámica de fluidos, las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein son ecuaciones diferenciales parciales no lineales bien conocidas. A veces, la aplicación de la ecuación de Lagrange a un sistema variable puede dar como resultado un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.
¿Cuál es la diferencia entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales?
• Una ecuación diferencial, que tiene solo los términos lineales de la variable desconocida o dependiente y sus derivadas, se conoce como ecuación diferencial lineal. No tiene término con la variable dependiente de índice superior a 1 y no contiene ningún múltiplo de sus derivados. No puede tener funciones no lineales como funciones trigonométricas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas con respecto a la variable dependiente. Cualquier ecuación diferencial que contenga los términos mencionados anteriormente es una ecuación diferencial no lineal.
• Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales crean un espacio vectorial y el operador diferencial también es un operador lineal en el espacio vectorial.
• Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales son relativamente más fáciles y existen soluciones generales. Para ecuaciones no lineales, en la mayoría de los casos, la solución general no existe y la solución puede ser específica del problema. Esto hace que la solución sea mucho más difícil que las ecuaciones lineales.
