Integrales definidas vs indefinidas
El cálculo es una rama importante de las matemáticas, y la diferenciación juega un papel fundamental en el cálculo. El proceso inverso de la diferenciación se conoce como integración, y el inverso se conoce como integral, o simplemente, el inverso de la diferenciación da una integral. Según los resultados que producen, las integrales se dividen en dos clases; integrales definidas e indefinidas.
Más sobre integrales indefinidas
La integral indefinida es más una forma general de integración y puede interpretarse como la antiderivada de la función considerada. Supongamos que la diferenciación de F da f, y la integración de f da la integral. A menudo se escribe como F(x)=∫ƒ(x)dx o F=∫ƒ dx donde tanto F como ƒ son funciones de x, y F es diferenciable. En la forma anterior, se llama integral de Reimann y la función resultante acompaña a una constante arbitraria. Una integral indefinida a menudo produce una familia de funciones; por lo tanto, la integral es indefinida.
Las integrales y el proceso de integración son fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, a diferencia de la diferenciación, la integración no sigue siempre una rutina clara y estándar; a veces, la solución no se puede expresar explícitamente en términos de función elemental. En ese caso, la solución analítica a menudo se da en forma de integral indefinida.
Más sobre integrales definidas
Las integrales definidas son las contrapartes más valoradas de las integrales indefinidas donde el proceso de integración en realidad produce un número finito. Se puede definir gráficamente como el área delimitada por la curva de la función ƒ dentro de un intervalo dado. Siempre que la integración se realiza dentro de un intervalo dado de la variable independiente, la integración produce un valor definido que a menudo se escribe como a∫bƒ(x) dx o a∫b ƒdx.
Las integrales indefinidas y las integrales definidas están interconectadas a través del primer teorema fundamental del cálculo, y eso permite calcular la integral definida utilizando las integrales indefinidas. El teorema establece a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) donde tanto F como ƒ son funciones de x, y F es diferenciable en el intervalo (a, b). Teniendo en cuenta el intervalo, a y b se conocen como límite inferior y límite superior respectivamente.
En lugar de detenerse solo con funciones reales, la integración puede extenderse a funciones complejas y esas integrales se denominan integrales de contorno, donde ƒ es una función de la variable compleja.
¿Cuál es la diferencia entre integrales definidas e indefinidas?
Las integrales indefinidas representan la antiderivada de una función y, a menudo, una familia de funciones en lugar de una solución definida. En integrales definidas, la integración da un número finito.
Las integrales indefinidas asocian una variable arbitraria (de ahí la familia de funciones) y las integrales definidas no tienen una constante arbitraria, sino un límite superior y un límite inferior de integración.
La integral indefinida suele dar una solución general a la ecuación diferencial.
