Asociativo vs Conmutativo
En nuestra vida cotidiana, tenemos que usar números cada vez que necesitamos obtener una medida de algo. En el supermercado, en la gasolinera e incluso en la cocina, necesitamos sumar, restar y multiplicar dos o más cantidades. Desde nuestra práctica, realizamos estos cálculos con bastante facilidad. Nunca notamos ni cuestionamos por qué hacemos estas operaciones de esta manera particular. O por qué estos cálculos no se pueden hacer de otra manera. La respuesta está oculta en la forma en que se definen estas operaciones en el campo matemático del álgebra.
En álgebra, una operación que involucra dos cantidades (como la suma) se define como una operación binaria. Más precisamente, es una operación entre dos elementos de un conjunto y estos elementos se denominan "operando". Muchas operaciones matemáticas, incluidas las operaciones aritméticas mencionadas anteriormente y las que se encuentran en la teoría de conjuntos, el álgebra lineal y la lógica matemática, se pueden definir como operaciones binarias.
Hay un conjunto de reglas de gobierno relacionadas con una operación binaria específica. Las propiedades asociativas y conmutativas son dos propiedades fundamentales de las operaciones binarias.
Más sobre propiedad conmutativa
Supongamos que se realiza alguna operación binaria, denotada por el símbolo ⊗, sobre los elementos A y B. Si el orden de los operandos no afecta el resultado de la operación, se dice que la operación es conmutativa. es decir, si A ⊗ B=B ⊗ A entonces la operación es conmutativa.
Las operaciones aritméticas de suma y multiplicación son conmutativas. El orden de los números sumados o multiplicados no afecta la respuesta final:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Pero en el caso de la división el cambio en el orden da el recíproco del otro, y en la resta el cambio da el negativo del otro. Por lo tanto, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 y 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 y 5 ÷ 4=1,25 [en este caso A, B ≠ 1 y 0]
De hecho, se dice que la resta es anticonmutativa; donde A – B=– (B – A).
Además, los conectivos lógicos, la conjunción, la disyunción, la implicación y la equivalencia, también son conmutativos. Las funciones de verdad también son conmutativas. Las operaciones de conjuntos unión e intersección son conmutativas. La suma y el producto escalar de los vectores también son conmutativos.
Pero la resta de vectores y el producto vectorial no es conmutativo (el producto vectorial de dos vectores es anticonmutativo). La suma de matrices es conmutativa, pero la multiplicación y la resta no son conmutativas.(La multiplicación de dos matrices puede ser conmutativa en casos especiales, como la multiplicación de una matriz por su inversa o la matriz identidad; pero definitivamente las matrices no son conmutativas si las matrices no son del mismo tamaño)
Más sobre propiedad asociativa
Se dice que una operación binaria es asociativa si el orden de ejecución no afecta el resultado cuando dos o más ocurrencias del operador están presentes. Considere los elementos A, B y C y la operación binaria ⊗. Se dice que la operación ⊗ es asociativa si
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
De las funciones aritméticas básicas, solo la suma y la multiplicación son asociativas.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
La resta y la división no son asociativas;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 y (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 y (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Los conectivos lógicos disyunción, conjunción y equivalencia son asociativos, como también las operaciones de conjuntos unión e intersección. La suma de matrices y vectores es asociativa. El producto escalar de vectores es asociativo, pero el producto vectorial no lo es. La multiplicación de matrices es asociativa solo en circunstancias especiales.
¿Cuál es la diferencia entre propiedad conmutativa y asociativa?
• Tanto la propiedad asociativa como la propiedad conmutativa son propiedades especiales de las operaciones binarias, y algunas las satisfacen y otras no.
• Estas propiedades se pueden ver en muchas formas de operaciones algebraicas y otras operaciones binarias en matemáticas, como la intersección y la unión en la teoría de conjuntos o los conectores lógicos.
• La diferencia entre conmutativa y asociativa es que la propiedad conmutativa establece que el orden de los elementos no cambia el resultado final, mientras que la propiedad asociativa establece que el orden en que se realiza la operación no afecta la respuesta final.
