Distribución binomial vs normal
Las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias juegan un papel importante en el campo de la estadística. De esas distribuciones de probabilidad, la distribución binomial y la distribución normal son dos de las más comunes en la vida real.
¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial es la distribución de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria X, que es el número de éxitos de una secuencia finita de experimentos independientes sí/no, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de éxito p. De la definición de X, es evidente que es una variable aleatoria discreta; por lo tanto, la distribución binomial también es discreta.
La distribución se denota como X ~ B (n, p) donde n es el número de experimentos yp es la probabilidad de éxito. De acuerdo con la teoría de la probabilidad, podemos deducir que B (n, p) sigue la función de masa de probabilidad [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/látex]. De esta ecuación, se puede deducir además que el valor esperado de X, E(X)=np y la varianza de X, V(X)=np (1- p).
Por ejemplo, considere un experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces. Defina éxito como obtener H, fracaso como obtener T y la variable aleatoria X como el número de éxitos en el experimento. Entonces X ~ B (3, 0.5) y la función de masa de probabilidad de X dada por [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/látex]. Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos 2 H es P(X ≥ 2)=P (X=2 o X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
¿Qué es la distribución normal?
La distribución normal es la distribución de probabilidad continua definida por la función de densidad de probabilidad, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Los parámetros [latex] \mu y \\sigma [/latex] indican la media y la desviación estándar de la población de interés. Cuando [latex] \mu=0 y \\sigma=1 [/latex] la distribución se denomina distribución normal estándar.
Esta distribución se llama normal ya que la mayoría de los fenómenos naturales siguen la distribución normal. Por ejemplo, el coeficiente intelectual de la población humana se distribuye normalmente. Como se ve en el gráfico, es unimodal, simétrico con respecto a la media y con forma de campana. La media, la moda y la mediana son coincidentes. El área bajo la curva corresponde a la porción de la población que cumple una condición dada.
Las porciones de población en el intervalo [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] son aproximadamente 68,2%, 95,6% y 99,8% respectivamente.
¿Cuál es la diferencia entre las distribuciones normal y binomial?
- La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta mientras que la distribución normal es continua.
- La función de masa de probabilidad de la distribución binomial es [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], mientras que la función de densidad de probabilidad de la distribución normal es [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- La distribución binomial se aproxima a la distribución normal bajo ciertas condiciones, pero no al revés.
